Pequeña anotación sobre la mecánica cuántica computable

En una anterior entrada se mencionó que, como consecuencia de la cantidad de códigos que es posible escribir, la cantidad de números reales que son computables es contable, lo cual deja por fuera una gran cantidad de reales, teniendo en cuenta que estos tienen cardinalidad continua. Todo esto se desarrolló a partir de la aritmética cardinal, la aritmética transfinitia.

Sin embargo, a pesar de este impedimento a la hora de poder representar en su totalidad a los números reales de una forma computable, existe una gran curiosidad en la mecánica cuántica en cuanto a la computabilidad.

En 1989, Pour-El y Richards, demostraron que los autovalores de los operadores cuánticos son todos computables, sin embargo, los autoestados necesariamente no lo son. Este resultado es de gran intereses y resulta bastante impactante, pues por un lado nos dice que, siempre podremos llegar, por medio de algoritmos, a los autovalores al medir cierta propiedad de un sistema, es decir, podremos corroborar las medidas que realicemos de un sistema físico cuántico, como lo puede ser la energía, el momentum o la posición, con un proceso programado en un ordenador, y tendremos la certeza que el valor resultante es completamente computable. Es desconcertante como, a pesar de que hay igualmente una cantidad infinita de números reales no computables, todos los autovalores lo son.

Sin embargo, así como se crea esta oportunidad de llegar a todos los autovalores con algoritmos de programación, se genera la imposibilidad de poder computar los autoestados, es decir, no es posible de forma exacta y por medio de algoritmos programables para una máquina de Turing, simular los estados en los que se encuentra, o se encontrará un sistema, generando nuevamente otro impedimento a la física computacional al momento de realizar simulaciones.

Referencias

• Augenstein, B. W. (1996). Links between physics and set theory. Chaos, Solitons & Fractals, 7(11), 1761-1798.

• Pour-El, M. B., & Richards, J. I. (2017). Computability in analysis and physics (Vol. 1). Cambridge University Press.