La hipótesis del continuo generalizada
LA INCOMPLETITUD EN EL TAMAÑO DEL CONTINUO
Con la publicación en 1963 de la independencia de la hipótesis del continuo generalizada por parte de Paul Cohen se abrió un nuevo mundo de posibilidades e infinidades en las matemáticas puras. De hecho, esto condujo a mostrar que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Cantor perdía su tan invaluable propiedad de unicidad así como ser la base fundamental de casi toda la matemática conocida hace 70 años aproximadamente. Sin embargo, vale la pena mencionar, qué significa la independencia de la prueba de la hipótesis del continuo generalizada respecto a los axiomas de la teoría ZFC y más importante aún, qué es la hipótesis del continuo generalizada. Así en esta página de nuestro blog, motivados por los trabajos de colegas de Pitowsky (ver este artículo de Menachem Magidor), daremos una reseña de la incompletitud del tamaño del continuo.
Para iniciar, es un hecho conocido que Kurt Gödel fue el padre de la teoría matemática más importante que nos hablaba sobre lo que denominan los teoremas de los teoremas, esta rama de la matemática conocida como la lógica matemática establece la independencia de algunas formas de demostración como la reducción al absurdo, demostración por contradicción, etc; en lo que se conoce como la lógica proposicional de primer orden. A pesar de su naturaleza un tanto filosófica, la lógica establece un esquema bastante riguroso del lenguaje formal, lo cual fortalece aún más los resultados de otras teorías matemáticas así como su unicidad o número mínimo de axiomas (esquemas axiomáticos) y en este orden de ideas tenemos los dos resultados más famosos de la lógica:
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Teorema de completitud de Gödel: Este teorema establece que toda fórmula bien formada que sea logicamente válida, es una fórmula deducible en la lógica de primer proposicional de primer orden. Escudriñando esta afirmación y teniendo en cuenta que su converso conocido como soundness, también es válido, lo que nos quiere decir es que el universo de teoremas (pruebas formales) es igual al universo de fórmulas validas (fórmulas logicamente verdaderas, por ejemplo las tautologías). Matemáticamente, lo podemos denotar por:
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Un teorema de incompletitud de Gödel: Cualquier sistema formal consistente dentro del cual se pueda realizar una cierta cantidad de aritmética elemental es incompleto; es decir, hay enunciados del lenguaje que no se pueden probar ni refutar. Aquí vale la pena mencionar que por consistencia, nos referimos a un conjunto de fórmulas bien formadas tales que no deduzcan contradicciones, lo cual se denota como:
Ahora, teniendo en cuenta estos dos teoremas, fue posible obtener otros resultados de la lógica que nos permitiran entender el infinito mar de teoría de conjuntos, lo cual implicaría infinitas teorías de conjuntos ZFC las cuales algunas son más iguales que otras. En particular, concentremonos en establecer la hipótesis del continuo generalizada, el teorema de Löwenheim-Skolem ascendente y el resultado obtenido por Cohen en 1963.
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Hipótesis del continuo generalizada: Dado A un conjunto infinito cuyo cardinal λ satisface estar entre el cardinal de otro conjunto S y su conjunto partes, entonces A es equipotente a S o a su conjunto partes. Esto es,
También es común denotarlo en términos de los números aleph y beth como
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Teorema de Löwenheim-Skolem ascendente: Dado un lenguaje de primer orden ℒ y consistente, con cardinal λ. Si existe M, un modelo de ℒ con cardinalidad λ, entonces existen modelos de ℒ con cardinalidad μ≥λ.
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Independencia de ZFC con la hipótesis del continuo generalizada: En términos de lo anterior, dado que la teoría de conjuntos ZFC es consistente con el lenguaje que se ha ido desarrollando en el curso, es decir, el lenguaje de la teoría de conjuntos junto a la relación binaria de pertenencia, entonces el teorema de Löwenheim-Skolem nos da en principio modelos más allá de la teoría ZFC, que denominaremos en adelante modelos no estándar. Un tipo de estos modelos precisamente fue estudiado por Cohen en 1963 al incluir la hipótesis generalizada del continuo, mostrando que esta hipótesis es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel-Cantor.
Aunque esto pareciera un resultado un tanto vago y como dirían algunos expertos "mal definido", realmente entramos a un nuevo reino donde los modelos no estándar nos muestran que dentro la infinitud de los infinitos, infinitos, tan sólo conocemos la punta del iceberg del dichoso tamaño del continuo. De hecho, y como dato curioso, los diferentes tipos de modelos no estándar también conducen a nuevas teorías matemáticas como el análisis no estándar, donde el concepto de infinitesimales deja enlazar de manera más natural las definiciones clásicas de límite, derivada y demás, del cálculo infinitesimal. Con esto en mente, podremos seguir explorando las relaciones entre la teoría de conjuntos y la física y los modelos deterministas del espín de nuestro tan famoso Itamar Pitowsky.
