En un intento de resolver este problema, Frege ya había intentando resolver este problema pero con el infortunio que en 1901, Bertrand Russell encontró una inconsistencia en su axiomática a través de la conocida paradoja de Russell que junto al axioma de comprensión, nos permite afirmar que no existe un conjunto que contenga a todos los conjuntos. Esto inspiro a Zermelo y Fraenkel reformular la teoría de conjuntos en un nuevo conjunto de axiomas que tuvieran en cuenta este problema, de hecho de los 9 axiomas propuestos inicialmente, gracias al trabajo de Cantor y Skolem se logro llegar al conjunto axiomático utilizado hoy en día en la teoría de conjuntos conocido como los 10 axiomas de la teoría de Zemrelo-Fraenkel-Cantor (ZFC).

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Es importante mencionar algunas implicaciones lógicas que tiene la teoría ZFC desde el punto de vista de los teoremas desarrollados de completitud e incompletitud de Gödel, más específicamente, podemos mencionar que la teoría ZFC es axiomatizable pero no finitamente axiomatizable, es decir, este conjunto de 10 axiomas realmente es un conjunto infinito de axiomas como se mostrara con el esquema axiomático de separación. Además, en adelante toda variable o constante del lenguaje formal, representa conjuntos.

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Los axiomas de la teoría ZFC son:

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1. Axioma del conjunto vacío: Existe un conjunto que no tiene elementos denominado conjunto vacío y denotado Ø o {} .

2. Axioma de extensionalidad: Un conjunto esta determinado por sus elementos, así si todo elemento de un conjunto A es un elemento de un conjunto B, y viceversa, entonces A y B se dicen iguales o equivalentes.

3. Axioma de compresión o separación: Dada una propiedad P(x) de x, y un conjunto arbitrario A, existe un conjunto B cuyos elementos satisfacen la propiedad P(x) y son elementos de A.

4. Axioma del conjunto binario: Dados A y B conjuntos arbitrarios, existe un conjunto C cuyos elementos son precisamente los conjuntos A y B, denominado conjunto binario y denotado {A,B}. Si A=B, se dice entonces que se tiene el conjunto unitario {A}.

5. Axioma del conjunto unión: Dado S una colección de conjuntos arbitrarios, existe un conjunto C cuyos elementos son precisamente los elementos de los conjunto constituyentes de S, es decir, x es un elemento de C si y sólo si existe un conjunto A de la colección S tal que x pertenece a A. Este conjunto se denomina conjunto unión de la colección S.

6. Axioma del conjunto partes: Dado A un conjunto arbitrario, existe un conjunto B cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, es decir, C es un elemento de B si y sólo si C está contenido en A. Este conjunto se denomina conjunto partes de A.

7. Axioma del infinito: Existe un conjunto I, tal que I es un conjunto inductivo, es decir, 0={} es elemento de I, y si n pertenece a I, entonces n+1 es también un elemento de I. Al menor conjunto inductivo se denomina conjunto de los números naturales.

8. Axioma de reemplazo: Sea A un conjunto arbitrario y x un elemento de A tal que existe una propiedad P(x,y) que relaciona de forma única a x y y. Entonces existe el conjunto B de "imágenes" de x bajo P denominado conjunto imagen de A bajo P.

9. Axioma de regularidad: Sea A un conjunto no vacío, entonces existe el conjunto B tal que B es elemento de A y que su intersección es vacía, es decir, A y B son disyuntos. Este conjunto evita casos patológicos y permite afirmar que la relación de pertenencia como un orden parcial sobre el conjunto partes de A, posee un elemento mínimo, lo cual implica que toda cadena infinita de conjuntos encajados (bajo pertenencia), posea una cota inferior.

10. Axioma de elección: Dada una familia de conjuntos no vacía A, disyunta dos a dos, existe un conjunto B tal que sus elementos consisten en elementos simples escogidos de cada elemento de la familia de conjuntos A. Existen caracterizaciones equivalentes del axioma de elección como la existencia de inversas a derecha para funciones sobreyectivas, como la existencia de una base para todo espacio vectorial, como el teorema de Tychonoff, como la veracidad del lema de Zorn, etc.

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Terminada esta introducción de la teoría ZFC es importante mencionar algunos hechos:

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• El axioma de elección realmente separa el mundo en dos tipos de personas, los que construyen la teoría de conjuntos sin incluir el axioma de elección (ZF) y los que consideran válido el axioma de elección en alguna de sus distintas presentaciones (ZFC).

• Aunque en la actualidad se reconoce la participación de Georg Cantor a la teoría de conjuntos, inicialmente este matemático desarrolló casi toda la teoría de conjuntos de manera autónoma sin conocer el trabajo de Zermelo-Fraenkel sino mucho después.

• Debido a que el axioma de comprensión considera una cantidad infinita de propiedades, este corresponde a un esquema axiomático infinito (un axioma por cada propiedad), lo cual verifica que ZF o ZFC son teorías no finitamente axiomatizables.

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Estamos ahora preparados para definir la aritmética del infinito de una manera bastante informal por ahora, sin embargo, esto nos ayudará a entender las primeras conexiones no formalizadas en la física y donde la teoría de conjuntos presenta una aproximación más rigurosa del asunto. Como adelanto a estos acontecimientos, presentaremos la integral de camino de Feynman y el problema de la carga eléctrica autointeractuante como un problema del infinito (¿enumerable?,  ¿no enumerable?, no lo sabemos por ahora). Así que te invitamos a seguir leyendo otras páginas del blog, particularmente la aritmética transfinita.