La integral de camino de Feynman
AMBROSÍA DE LOS FÍSICOS Y DESASTRE MATEMÁTICO
Con la publicación en 1948 del artículo de Richard Feynman denominado Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics se demuestra que la mecánica cuántica no relativista de una partícula tiene una formulación equivalente, denominada formulación funcional de la integral de camino. La formulación funcional establece que la dinámica de una partícula cuántica se rige por su evolución en el espacio de fase, sumando sobre todas las trayectorias posibles con extremos fijos y cuya probabilidad es proporcional a la exponencial de la acción clásica, de modo que la trayectoria clásica es la más probable. Posteriormente, Mark Kac en un trabajo conjunto con Feynman presentan la equivalencia de los problemas de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y procesos estocásticos bajo la integral de camino de Feynman y establecen la fórmula de Feynman-Kac. Con este trabajo se probó de manera rigurosa la integral de camino en el caso real. Sin embargo, desde el contexto de la teoría de la medida y por tanto de la teoría de conjuntos, surge la pregunta cómo esta herramienta física puede proveer resultados físicos cuando su definición matemática no esta bien fundamentada en el caso de los números complejos, de hecho, cómo logran los físicos sumar infinitos para obtener números reales.
Para introducir aún más el problema, hablemos de la amplitud de probabilidad de transición definida como la probabilidad que un sistema encontrándose en una posición determinada en un tiempo t (y que indexamos con la letra a), llegue al estado de configuración final con otra posición en un tiempo posterior (indexados por a). Matemáticamente, está dada por:
Donde H representa la energía del sistema, x son las posiciones, p son los momentos lineales, y nuestra variable de mayor interés, Dx y Dp denominadas medidas funcionales, las cuales se definen como
La figura anterior, nos permite entender esta integral como la suma sobre todas las trayectorias posibles en un espacio físico abstracto, denominado espacio de fase. Ahora, hecha esta introducción, nuestra idea es ahora poder visualizar por lo menos una cota superior en términos de la aritmética transfinita para las medidas funcionales anteriormente definidas, esto con el fin de justificar dos hechos:
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Mostrar que el concepto del infinito no enumerable realmente adquiere un sentido físico ya que estas amplitudes son objetos observables en nuestra realidad.
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Hacer un intento de formalizar rigurosamente el concepto de la integral de camino en términos matemáticos lo cual permita entender un poco mejor "la magía de restar infinitos".
Empecemos, para ello notemos que el conjunto de medidas funcionales resultan ser integrales en el sentido clásico que varían de forma enumerable, es decir, de entrada ya sabemos por lo menos que alef-0, es nuestra cota inferior hacía un número cardinal infinito que represente a la integral de camino de Feynman. Ahora, dado que nuestro integrando, una función exponencial, es analítica, podemos considerar su expansión en serie de Taylor y de forma reduccionista podemos asociar una integral por cada número natural como sigue:
Aunque lo anterior pareciera una serie de pasos algebraicos "físicos" no justificados, observemos que cada uno de estos pasos están bien justificados por las siguientes razones del análisis matemático.
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Toda función continua permite que el paso entre el límite y la función conmuten, es decir, bajar el límite de la exponencial.
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Por definición de la integral de Riemann-Stieltjes, podemos ver cada una de las integrales como una sucesión de sumas sobre una partición del intervalo de tiempo entre a y b.
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La derivada de una función, denotada acá con un punto encima, se define como el límite de un cociente al cual se aproxima la función.
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Por el teorema de Fubini y en general, de los teoremas de la integral de Lebesgue, podemos reordenar el orden de las integrales cuando los integrandos no dependen entre sí.
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Suponemos convergencia sincronizada para m y N tal que el límite se vuelva uno sólo sobre N.
Por lo tanto, hemos reducido la integral de Feynman a un producto infinito de integrales simple que, en principio, son números complejos. Luego, tenemos una sucesión de productos parciales sobre los números complejos, es decir, la integral de Feynman vive en el conjunto de sucesiones de números complejos. Por último, definamos el conjunto respectivo de la integral de camino y usemos la exponenciación transfinita para calcular el cardinal transfinito asociado a la integral de camino de Feynman.
Así, el cardinal de la integral de camino de Feynman como una sucesión de números complejos, es igual al del conjunto de los números reales. Con lo cual, justificamos que el infinito asociado a integrales de camino es un infinito no enumerable, además, a diferencia del enfoque físico, hemos concluido que la integral de camino es una sucesión de productos parciales, lo cual puede dar quizás un enfoque diferente a lo ya conocido para los físicos.