Dos principios básicos de la mecánica cuántica y un conjunto de cardinalidad intermedia.

¿Existe una relación entre la mecánica cuántica y la teoría de conjuntos?

Responder esa pregunta requiere de amplios conocimientos en las dos áreas, pero más allá de ello se mostrará como dos principios básicos de la mecánica cuántica se pueden ver como propiedades de un conjunto de cardinalidad intermedia,a saber, el principio de superposición y el postulado de Born.

Una de las preguntas más atrayentes en matemáticas es: ¿Existe un conjunto S(conjunto de cardinalidad intermedia) que domina estrictamente a ℕ y que simultáneamente sea dominado estrictamente por ℜ? Es aquí donde sale a la luz la hipótesis del continuo(CH)*. Lo que CH dice es que el cardinal de ℜ es el cardinal inmediatamente sucesor de ℵo. Brillantes contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demuestran que CH es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, es decir, es imposible demostrar desde ZF que S existe ya que la independencia de CH se basa en que no se puede probar ni refutar CH en ZFC. Pero que CH sea independiente de ZFC no significa que S no exista, es por esto que para nuestro objetivo supondremos que S existe.

Si S existe, entonces existe una función biyectiva f:S→P donde P ⊂ ℜ en el que card(ℕ)<card(S)<card(ℜ). Es imposible hallar un algoritmo que asigne a cada s ∈ S un único número real r ∈ P ya que de lo contrario se estaría refutando CH lo cual es imposible debido a la independencia de CH. La pregunta ahora es: ¿cuál es dicha función? Como no tenemos un algoritmo para la función entonces a cada r ∈ ℜ le podemos asignar una propabilidad P(r) de encontrar un s cuya imagen sea cercana a r. Ahora, probablemente si a,b ∈ ℜ entonces P(a+b)≠P(a)+P(b). Por lo tanto podemos definir una función Ψ(r) sobre ℜ de manera que P(r)=P(Ψ(r)) y Ψ(a+b)=Ψ(a)+Ψ(b). Esta elección es consistente con lo que hemos dicho porque P(a+b)=P(Ψ(a+b))=P(Ψ(a)+Ψ(b))≠P(Ψ(a))+P(Ψ(b))=P(a)+P(b) ya que

Ψ(a+b)=Ψ(a)+Ψ(b) (1)

Como la dependencia de P(Ψ(r)) no es lineal, entonces escogemos la dependencia no lineal más simple, es decir la dependencia cuadrática:

P(r) = |Ψ(r)|² (2)

Como se observa tanto (1) y (2) se pueden ver como el principio de superposición y el postulado de Born respectivamente.

*Puede leer más sobre CH (aquí)