La integral de camino de Feynman, ambrosía de los físicos y una pequeña corrección matemática.

En el desarrollo de una aproximación rigurosa a la integral de camino hemos encontrado que la aritmética transfinita es un camino ideal para justificar la "magía de restar infinitos" en la física, más aún, hemos encontrado nuestra primera conexión entre la teoría de conjuntos con un desarrollo más riguroso de la física. Es claro que a pesar de esto, hemos visto ya en las primeras secciones del blog que la teoría de conjuntos como base de las matemáticas es subyacente en casi todas las teorías físicas, también estamos siguiendo uno de los mayores sueños y problemas de Hilbert, axiomatizar la física.

En el desarrollo de una cota superior de un número cardinal infinito para la integral de camino de Feynman, demostramos que la integral de camino es una sucesión de productos parciales sobre los números complejos, lo cual amplía la noción e imagen de este concepto físico con las herramientas de la teoría de conjuntos, el análisis matemático y la teoría de la medida. Por otro lado, es importante notar que la hipótesis del continuo nos indica que toda integral de camino corresponde a un conjunto no enumerable al variar los productos parciales que la definen, pues no existe un cardinal infinito entre los conjuntos enumerables y el conjunto de números reales.

Además, una última idea que surge desde esta perspectiva es que realmente para poder describir la integral de camino de Feynman, se debería usar modelos no estándar de los números reales o números complejos, como uno que incluya a alef-0 y alef-1 dentro del conjunto, junto a sus operaciones básicas respectivas. Por lo tanto, siguiendo la idea de la aritmética transfinita, podríamos especular que restar infinitos, realmente corresponder a restar los números cardinales infinitos alef-0 y alef-1, luego lo que se esta obteniendo es nuevamente alef-1 como el máximo entre alef-0 y alef-1. La pregunta que queda ahora es, extendiendo la integral de camino hacía un modelo no estándar de los números complejos, ¿este nuevo número complejo no estándar obtenido de tomar el límite de esta sucesión, converge a algún valor en el nuevo espacio?¿De converger, qué significado matemático y físico tiene esta convergencia en nuestra propósito de buscar analogias entre la teoría de conjuntos y la física?