Espín, ¿propiedad conjuntista o propiedad física?
APLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO GENERALIZADA
Antes de empezar, es importante mencionar que aquí seguiremos parte de las ideas presentadas en : Pitowsky, I. Deterministic model of spin and statistics, Phys. Rev. D (3) 27 (1983), no. 10, 2316–2326..
Para empezar y como motivación, se tiene un ejemplo no trivial de la aplicación del axioma de elección, el cual corresponde a la paradoja de Banach-Tarski, la cual nos indica que: toda esfera puede ser divida en un número finito de piezas que pueden ser reordenadas para que tengan el mismo tamaño de la original. Aunque esto pareciera no viable en la realidad física, realmente se mezcla conceptos teóricos de las matemáticas muy fuertes como conjuntos no medibles. Para contextualizar un poco mejor esta idea, definamos una medida μ.
Esto se acostumbra resumir en decir que la función anterior es definida no negativa, posee la propiedad de conjunto vacío nulo y es aditivamente enumerable. En el caso de los conjuntos, decimos que un conjunto A en los espacios euclidianos (espacios vectoriales reales con producto interno) es medible si y sólo si es Lebesgue medible, es decir, su integral en el sentido de Lebesgue existe. Así, un conjunto no medible corresponde a subconjuntos de los espacios euclidianos que no son Lebesgue integrables. Un ejemplo de este conjunto es el conjunto de Vitali que no discutiremos pero que muestra que sin el axioma de elección, todo conjunto de los espacios euclidianos serían medibles.
Extrapolando la anterior noción, Pitowsky realizó un modelo determinista para describir los sistemas físicos de espín semientero. Así, suponiendo que la paradoja de Banach-Tarski tiene algún tipo de realidad física sería posible realizar "milagros", como la creación de materia. Para entender lo anterior, imaginemos que tenemos una fuente de n esferas de color rojo (estado 1), a través de una transformación espontánea, ¡podemos generar m esferas de color azul del mismo tamaño! (estado 2), lo cual implicaría que al final detectaríamos n+m esferas en total. Así, podríamos describir aspectos de la teoría cuántica usando un mecanismo determinista que por la paradoja Podolski-Einstein-Rosen (EPR), mezcla conceptos como localidad y no realidad física, de forma simultánea. De hecho, este enfoque de Pitowsky además de ser bastante novedoso, mezcla distribuciones no medibles que permitirían violar la aditividad no enumerable, de forma que podamos escapar de problemas como las desigualdades de Bell que utilizan fuertemente la teoría de la probabilidad y por lo tanto, la propiedad de aditividad enumerable. Ahora, ya expuesta las ideas físicas detrás de este modelo, veamos lo que realmente nos interesara, los aspectos matemáticos del modelo que vinculan la teoría del conjunto, en particular, la teoría de conjuntos con el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada, lo cual explicaría la existencia del espín como una propiedad de la teoría ZFC y a la vez una propiedad de la mecánica cuántica relativista.
Ahora introduzcamos las definiciones que atañen a integrabilidad esférica y una función de espín
Con estas definiciones, ya estamos preparados para mostrar la aplicación de la teoría de conjuntos en este modelo de espín en el siguiente teorema.
Así, hemos observado que la existencia de estas funciones de espín 1/2, realmente tienen un trasfondo matemático fuerte y no trivial, pues en una teoría sin axioma de elección, en principio, no podríamos definir matemáticamente el espín. Por lo tanto, se observa que en la busca de axiomatizar la física, el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada deberían ser una parte crucial puesto que sin estos, no se puede explicar el espín como una propiedad relativista de la mecánica cuántica, de hecho, la existencia del espín es una propiedad puramente conjuntista de la teoría ZFC.