Aritmética transfinita
LAS OPERACIONES DE LOS INFINITOS INFINITOS
Para nadie debe ser un secreto que David Hilbert fue de los matemáticos más influyentes del siglo XX, por esa razón y como una breve introducción te presentamos el problema del hotel de Hilbert, relacionado con los conjuntos infinitos enumerables donde existen múltiples biyecciones que nos permiten observar una primera noción de como se relacionan los múltiples infinitos de la matemática.
Es importante notar que este video en principio nos muestra biyecciones conocidas entre algunos conjuntos como el de los números naturales con los números naturales pares o impares y algunas inyecciones como la del conjunto de los números naturales con el conjunto de sucesiones infinitas de números naturales, pues en el hotel de Hilbert quedaron habitaciones libres, como la 15, luego de alojar los infinitos turistas de los infinitos guías turísticos. Aquí ya surge de forma natural la pregunta, ¿existe distintos infinitos y de ser así, pueden ser comparados?. Para responder esta pregunta y notar su veracidad, construyamos de una forma bastante informal la aritmética del infinito, la aritmética transfinita.
Recordemos que el conjunto de los números naturales constituye al menor conjunto inductivo cuyos elementos pertenecen al conjunto del axioma del infinito enunciado en la anterior sección y para este conjunto podemos distinguir dos tipos de infinitos, para el primero, consideremos la estructura de buen orden (y por tanto de orden total) que tiene los números naturales, entonces por el principio de inducción matemática, siempre podemos encontrar un elemento ω en la lista de los números naturales más grande que todos los anteriores, este número se denomina número ordinal. El segundo tipo de infinito, asociado a la cantidad de números naturales existentes, corresponde a nuestra noción matemática habitual del cardinal de un conjunto, y que en el caso de los números naturales denominamos el cardinal como alef-0. El hecho más curioso de lo anterior es que existen infinitos números ordinales infinitos enumerables pero un único número cardinal infinito enumerable correspondiente a alef-0. A continuación una imagen que nos ayuda a entender esta idea no trivial.
En los números ordinales infinitos podemos considerar un orden al igual que los números naturales, sin embargo, la diferencia radica en que estos números representan una colección infinita de números infinitos que son enumerables y de forma gráfica podemos entender su orden como el número de vueltas que se da sobre una espiral infinita. Además esto nos da una estructura natural para su suma, multiplicación y exponenciación lo cual lo convierte en principio en un magma para cada operación (conjunto con una operación binaria clausurativa).
En los números cardinales infinitos podemos considerar un orden al igual que los números naturales, también y podemos traducir la hipotesis del continuo en que no existe un número cardinal infinito entre alef-0 y alef-1. Además, el teorema de cantor que afirma que un conjunto siempre posee cardinal menor que a su respectivo conjunto partes, nos muestra una ruta natural para considera un orden sobre los números cardinales infinitos. Ahora notemos los tres hechos adicionales a la izquierda, para poder construir la aritmética de los números ordinales infinitos.
En concordancia de estos resultados tendríamos que la suma y multiplicación de números cardinales transfinitos obedece una ley subaditiva y submultiplicativa, es decir, la suma y el producto van a estar dados por el máximo de estos números alef. Para entender un poco más esta idea consideremos sobre el conjunto de los números naturales unido con alef-0 y definamos:
Luego, se tiene el siguiente conjunto de desigualdades que muestran el uso de estas definiciones que hemos introducido:
Finalmente para la exponenciación de números cardinales se define:
Así, damos por concluida esta sección, es importante notar que a pesar de todo no es posible definir una resta o división sobre los números cardinales u ordinales infinitos (números transfinitos), lo cual se debe en gran medida a la construcción del grupo y del campo de cocientes asociado a los números naturales, es decir, a los números enteros y a los números racionales, respectivamente. Por último, vale la pena mencionar que quedan algunos temas que nos gustaría tratar luego a modo de bitácoras en las entradas del blog como la definición de los números beth y la hipótesis del continuo generalizada, con algunos comentarios sobre el teorema de König, computación efectiva en máquinas de Turing y realmente cómo podemos justificar la existencia del modelo de los números naturales con alef-0 para las definiciones dadas.