El pequeño tamaño del espín
MODELOS NO ESTÁNDAR DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Antes de empezar, es importante mencionar que aquí continuamos con parte de las ideas presentadas en : Magidor, M. Some set theories are more equal.
Para empezar y recordando nuestro contexto conjuntista y lógico matemático, valdría la pena preguntarnos, ¿qué implicaciones tiene un teorema tan abstracto sobre números ordinales como lo es el teorema de Löwenheim-Skolem y la independencia de la hipótesis del continuo generalizada sobre la física teórica? Teniendo en cuenta esta pregunta, esta sección de nuestro blog pretende responder esta incógnita así como contextualizar en el paradigma que se encuentra la teoría de conjuntos en torno a su relación con la física. De hecho, es casi irónico que durante el siglo XX, fue el mayor punto de desarrollo intelectual de las teorías matemáticas y físicas y hasta ahora, realmente estamos comprendiendo que ese pequeño pedazo que comprendemos del tamaño del continuo con la teoría de conjuntos, hasta ahora esta tomando bastante fuerza en teorías más allá de la física conocida como lo mostró durante su vida Itamar Pitowsky, hijo académico de grandes genios matemáticos y físicos.
Ahora, es bueno recordar que las definidas funciones de espín de Pitowsky, nos mostraba un abrebocas de lo que podría ser la física y la mecánica cuántica con un contexto matemático más riguroso como lo es incluyendo modelos deterministas del espín mediante el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada. De hecho, estas funciones de espín resultaban ser funciones no medibles desde el contexto de la teoría de la medida pero nos mostraba una forma más elegante de introducir la idea del espín en la física. Más concretamente, nos daría la utopía de los modelos no estándar de la física.
De lo anterior podemos establecer precisamente las ideas que conducirían a dos reultados bastante importantes desarrollados por Magidor sobre las funciones de espín de Pitowsky, el primero de ellos presentado a continuación.
Este resultado realmente nos muestra que podríamos extender las ideas del teorema de Löwenheim-Skolem también al contexto de la física. De hecho, esto invita a pensar sobre las debatidas interpretaciones de la mecánica cuántica y los postulados que deberían fundamentarla, puesto que en algunos modelos podríamos hablar de una mecánica cuántica casi que determinística y estudiada por Pitowsky, pero con la buena propiedad de ser una teoría local. También, tendríamos el polo opuesto, donde existen modelos no estándar de la mecánica cuántica (por lo menos la relativista que introduce el concepto de espín), que son reales pero no locales (paradoja Einstein-Podolski-Rosen (EPR)), pero con un tamaño "más grande" del universo, es decir, de grandes cardinales, lo cual implicaría que de alguna forma ingenua y bastante suertuda, este fue el camino que hemos escogido hasta ahora en la física, por lo menos, restringidos hasta el continuo de los números reales.
Aún más, también nos enfrentamos a un problema de clasificación, usual en todas las ramas de las matemáticas, por ejemplo, el de clasificar grupos finitos salvo isomorfismo, clasificar topologías salvo homeomorfismos, clasificar conjuntos salvo equipotencia, clasificar variedades salvo sus invariantes topológicos y dimensión, clasificar funciones diferenciables salvo constantes de integración, etc. En este sentido, deberíamos enfrentarnos a algún tipo de clasificación de las diferentes físicas posibles (reales y no locales, o no reales y locales) salvo algún tipo de estructura que no entendemos aún del todo. Esto conduciría posiblemente y siendo bastante optimistas a extender de mejor forma los paradigmas de la física, como los denominados modelos más allá del modelo estándar de partículas, modelos más allá de la mecánica estadística fuera del equilibrio, modelos más allá de los superfluidos, entre otros. Con lo anterior, vemos que ya existe un supuesto bastante fuerte de no sólo de introducir bases matemáticas más rigurosas de la física para llegar a nuevos paradigmas sino también para comprender el tan complicado reino cuántica, rama de la física que aún con 100 años desde su creación, no logramos entender del todo.
Para continuar con el segundo resultado de Magidor, contextualizamos de forma rápida el teorema de Kochen-Specker, el cual nos permitiría añadir una clasificación usual de la física de partículas, partículas fermiónicas (fermiones) y partículas bosónicas (bosones), las cuales se distinguen por su valor de espín, semientero o entero, respectivamente, desde el teorema de espín-estadística. Con esta clasificación podremos ver que precisamente los resultados de Pitowsky y Magidor no se limitan a modelos no estándar de sólo partículas fermiónicas sino también bosónicas, lo cual implica que en principio tenemos modelos no estándar del universo conocido. Así, supongamos que tenemos un sistema de una partícula bosónica que tiene un valor de espín igual a 1. El teorema de Kochen-Specker establece que dadas tres direcciones mutuamente ortogonales, digamos X, Y y Z, entonces no es posible medir de forma simultánea el espín en las tres direcciones, es decir, los operadores mecánico-cuánticos asociados, no conmutan. Sin embargo, si se puede medir de forma simultánea el modulo del espín en las tres direcciones, cuyos valores son 0 ó 1. De hecho, Pitowsky demostro que tal comportamiento no puede ser obtenido con una función determinista si se satisfacía las siguientes dos condiciones,
A pesar de esto, se pueden relajar la segunda condición de una función KS tal que se obtenga una violación de la igualdad en un conjunto de media cero sobre la esfera y con respecto a la medida originada por el gran círculo perpendicular a uno de los vectores mutuamente ortogonales, por ejemplo, X. Lo fortiuto de esta relajación, es que al incluir el axioma de Martín (MA), ahora si existe una función KS. Con lo cual llegamos al segundo resultado de Magidor.
Aquí vale la pena recordar que la existencia de tales funciones carecerían de sentido físico ya que con la analogía de la paradoja de Banach-Tarski podríamos generar materia de la nada, lo cual no violaría ninguna ley física desde que el mecanismo fuera bien fundamentado (ver esta página del blog para mayor información). Aún así, fiel a las ideas de Pitowsky y Magidor, y apoyados en palabras textuales del mismo Pitowsky: "Podemos concebir situaciones matemáticas en las que surge un concepto natural de probabilidad que no está captado por los axiomas habituales de la teoría de la probabilidad. Lo que tengo en mente no es una extensión radical de la probabilidad. . . sino más bien una extensión conservadora. . .", podemos pensar que el verdadero salto de paradigma de la física estaría en aceptar una clase de funciones más amplias definidas en casi todas partes (almost everywhere) que permite incluir nuevos modelos no estándar de la física, lo cual implicaría un gran trabajo de clasificación en término de algún tipo de propiedad o estructura conservada.
Para concluir, podemos entonces mencionar que los modelos no estándar de la física que implicarían un cambio de paradigma de la física, deberían introducir de forma más seria los conceptos de la teoría de conjuntos junto a otro tipo de axiomas que nos permitan caracterizar mejor el continuo como la hipótesis del continuo generalizada o la ampliación del espectro de funciones utilizadas en la mecánica cuántica, por ejemplo, funciones definidas en casi todas partes. Desde el punto de vista experimental, por simplicidad de la ciencia, quizás la comunidad podría ser renuente a este cambio de ideas, además, también surgiría un nuevo problema de clasificación muy ligado hacía las matemáticas en este nuevo tipo de estructuras, sin embargo, de forma algo ilusa, esperamos que dentro un futuro cercano se sigan profundizando la inmersión de este tipo de ideas en la física.